Если сотруднику МВД была сделана операция в частной клинике могут ли быть какие то последствия.

Если такого рода операции местная МСЧ МВД не практикует, то ровным счетом никаких. В ином случае могут назначить проведение служебной проверки, по факту злоупотребления правом, ссылаясь на п. 2 ст. 11 ФЗ О соцгарантиях сотрудников ОВД. Но не обязательно, всё зависит от региона. Как показывает практика, везде смотрят на это по разному.

Я бы рекомендовал по окончании временной нетрудоспособности зарегистрировать больничный в МСЧ либо через регистратуру, либо через закрепленного терапевта (тоже везде по разному) и приобщить выписку об операции к истории болезни в МСЧ. Это снимет вопросы, которые могут возникнуть в подразделении.