Могу ли отправить ребенка с бабушкой на проезд, оплачиваемый бюджетной организацией, если сама не еду?

Правомерно. Потому что такая оплата возможна только в том случае если едете вы.

Здравствуйте. Правомерно. В ТК ст. 325 указаны лица, которым работодатель обязан оплатить проезд. Это неработающие муж, жена, несовершеннолетние дети.

Добрый день.

Изучите пункты правил Постановления Правительства РФ от 12.06.2008 № 455 (ред. от 10.07.2020) "О порядке компенсации расходов на оплату стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска и обратно для лиц, работающих в федеральных государственных органах, государственных внебюджетных фондах Российской Федерации, федеральных государственных учреждениях, расположенных в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, и членов их семей"

3. К членам семьи работника учреждения, имеющим право на компенсацию расходов, относятся неработающие муж (жена), несовершеннолетние дети (в том числе усыновленные), фактически проживающие с работником.

(в ред. Постановления Правительства РФ от 17.12.2010 N 1045)

(см. текст в предыдущей редакции)

Оплата стоимости проезда и провоза багажа членам семьи работника учреждения производится при условии их выезда к месту использования отпуска работника (в один населенный пункт по существующему административно-территориальному делению) и возвращения (как вместе с работником, так и отдельно от него).

По логике данного пункта оплата членам семьи должна последовать во время вашего отпуска. Вероятно всего они правы, но вы можете уточнить на, что они ссылаются, отказывая вам.