Какое название указывать при выдаче дубликата аттестата выпускнику, если наименование школы было изменено?

Татьяна, нет - нужно писать уже новое наименование учебного заведения, так как обращение, а именно заявление, у Вас принимает именно организация с новым наименованием. И в дубликате будет указано именно новое наименование заведения.

Изменение ФИО-основание для выдачи дубликата с указанием новой фамилии.

На дубликате указывается полное официальное наименование образовательной организации, выдавшей дубликат, в соответствии с требованиями, указанными в подпункте "а" пункта 4.1 настоящего Порядка.

На дубликате, выдаваемом в соответствии с пунктом 27 настоящего Порядка, указывается полное официальное наименование образовательной организации на момент ликвидации в соответствии с требованиями, указанными в подпункте "а" пункта 4.1 настоящего Порядка.

В случае изменения наименования организации, осуществляющей образовательную деятельность, на четвертой странице бланка приложения в разделе "4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ" указываются сведения в соответствии с подпунктом "а" пункта 5.6 настоящего Порядка.

15. На дубликатах диплома и приложения к нему указывается регистрационный номер дубликата диплома и дата его выдачи, в случае выдачи только дубликата приложения к диплому - регистрационный номер и дата выдачи дубликата приложения к диплому.

Приказом Минобрнауки России от 27 апреля 2015 г. N 432 пункт 16 изложен в новой редакции, вступающей в силу с 1 сентября 2015 г.

См. текст пункта в предыдущей редакции

16. В дубликат вносятся записи в соответствии с документами, имеющимися в личном деле выпускника. При невозможности заполнения дубликата приложения к диплому дубликат диплома выдается без приложения к нему.

П.12 приказ 546: В дубликате аттестата после фамилии, имени, отчества (при наличии) выпускника указываются год окончания и наименование в соответствии с подпунктом "в" пункта 4.2 Порядка той организации, осуществляющей образовательную деятельность, которую окончил выпускник.

Или надо читать по другому?

Если женщина поменяла фамилию, то пишем новую?

П. 4.2 Пр. 546 Фамилия, имя и отчество (при наличии) выпускника указываются полностью в соответствии с документом, удостоверяющим его личность;

п. 26 при изменении фамилии (имени, отчества) и (или) пола выпускника - с приложением копий документов, подтверждающих изменение фамилии (имени, отчества) выпускника.