Молодой человек столкнулся с проблемой отсрочки от призыва в армию - возможно ли перевестись в аккредитованный вуз и продлить отсрочку?

Отсрочку даёте не ВУЗ, а военкомат. ВУЗ даёт справку об обучение и на ее основании принимается решение об отсрочке.

Да, при переводе в другой ВУЗ, право на отсрочку сохранится.

Статья 24 Федерального закона от 28.03.1998 N 53-ФЗ "О воинской обязанности и военной службе"

Право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане обучающиеся по очной форме обучения в:

- образовательных организациях и научных организациях по имеющим государственную аккредитацию:

программам бакалавриата, если указанные обучающиеся не имеют диплома бакалавра, диплома специалиста или диплома магистра, - в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше установленных федеральными государственными образовательными стандартами, образовательными стандартами сроков получения высшего образования по программам бакалавриата;

- программам специалитета, если указанные обучающиеся не имеют диплома бакалавра, диплома специалиста или диплома магистра, - в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше установленных федеральными государственными образовательными стандартами, образовательными стандартами сроков получения высшего образования по программам специалитета.

Право на отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:

перешедшим в той же образовательной организации с одной образовательной программы на другую имеющую государственную аккредитацию образовательную программу того же уровня образования либо переведенным в другую образовательную организацию для освоения имеющей государственную аккредитацию образовательной программы того же уровня образования. Право на предусмотренную настоящим подпунктом отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:

получившим во время освоения образовательной программы академический отпуск или перешедшим в той же образовательной организации с одной образовательной программы на другую имеющую государственную аккредитацию образовательную программу того же уровня образования либо переведенным в другую образовательную организацию для освоения имеющей государственную аккредитацию образовательной программы того же уровня образования.