Имеет право сотрудник ГАИ гнаться за несовершеннолетним управляющим мопедом?

Имеет право.

В случаях невыполнения водителем транспортного средства требования сотрудника об остановке; визуальном установлении признаков преступления, административного правонарушения при отсутствии возможности своевременной подачи сигнала об остановке транспортного средства; получения информации о совершении водителем транспортного средства преступления, административного правонарушения от другого наряда сотрудников органов внутренних дел, участника дорожного движения; получения указания от дежурного, руководителя подразделения ДПС (подразделения Госавтоинспекции территориального органа МВД России на районном уровне) о необходимости остановки транспортного средства в зависимости от конкретной обстановки сотрудником могут быть приняты меры по:

преследованию и (или) принудительной остановке транспортного средства.

Преследование осуществляется на патрульном автомобиле с включенными специальными световыми и звуковыми сигналами. При этом требование об остановке подается с помощью громкоговорящего устройства или жестом руки, при необходимости с применением жезла или диска с красным сигналом (световозвращателем). В случае необходимости и при наличии возможности осуществляется (с использованием громкоговорящего устройства) информирование других участников дорожного движения о повышенной внимательности и соблюдении мер предосторожности.