Может ли Президент Фонда осуществлять свою деятельность на общественных началах, а не по трудовому договору?

Учредитель может быть единолично исполнительным органом — Президентом, но он является должностным лицом. Можно попробовать заключить договор без оплаты труда, но это на усмотрение контролирующих органов и деятельности Фонда. Правильнее все же платить небольшую зарплату, если есть возможность.