Дополнительный период не помог - ученик сдал на ОГЭ только часть предметов, но есть шанс досрочно сдать экзамен в следующем году

Теоретически может;

Согласно п. 11 Порядка утв. Приказом Минпросвещения России N 189, Рособрнадзора N 1513 от 07.11.2018

«Об утверждении Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования»

11. К ГИА допускаются обучающиеся, не имеющие академической задолженности, в полном объеме выполнившие учебный план или индивидуальный учебный план (имеющие годовые отметки по всем учебным предметам учебного плана за IX класс не ниже удовлетворительных), а также имеющие результат «зачет» за итоговое собеседование по русскому языку

Участникам ГИА, не прошедшим аттестацию предоставляется право пройти ГИА по соответствующим учебным предметам в дополнительный период, но не ранее 1 сентября текущего года (п. 76 Порядка).

При получении неудовлетворительных результатов в дополнительный период обучающиеся, в частности, могут (ч. 12 ст. 60 Закона N 273-ФЗ; п. 26 Порядка, утв. Приказом Минпросвещения России от 22.03.2021 N 115):

• получить справку об обучении по образцу, самостоятельно устанавливаемому организацией, осуществляющей образовательную деятельность;

• по усмотрению родителей (законных представителей) с учетом мнения обучающихся, а также рекомендаций психолого-медико-педагогической комиссии (при их наличии) быть оставлены на повторное обучение или получить основное общее образование в форме семейного образования с последующим прохождением ГИА.

В указанном случае, а также при непрохождении ГИА в установленные законодательством сроки обучающиеся могут пройти ГИА в следующем календарном году (п. 36 Порядка; Письмо Минпросвещения России от 26.12.2019 N 04-1549).