Имеет ли право, роботадатель организовать сварщику экзамен, и понизить разряд?

Право такое имеется

Существуют так называемые: ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЕДИНОГО ТАРИФНО-КВАЛИФИКАЦИОННОГО СПРАВОЧНИКА РАБОТ И ПРОФЕССИЙ РАБОЧИХ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА СССР. Постановление Госкомтруда СССР, Секретариата ВЦСПС от 31.01.1985 N 31/3-30 (ред. от 09.04.2018)

Соответственно существующий еще при СССР закон действует и по сей день в редакции 2018 года.

10. Вопрос о присвоении или повышении разряда, группы квалификации, класса, категории (далее именуется разрядом) рабочему рассматривается квалификационной комиссией предприятия, организации, цеха на основании заявления рабочего, прошедшего обучение и сдавшего квалификационные экзамены, по представлению руководителя соответствующего подразделения (мастера, начальника смены и т.д.) с учетом мнения коллектива производственной бригады.

Право на повышение разряда имеют в первую очередь рабочие, качественно выполняющие работы и установленные нормы труда более высокого разряда не менее трех месяцев и добросовестно относящиеся к своим трудовым обязанностям.

Руководители объединений, предприятий и организаций по согласованию с профсоюзными комитетами имеют право понижать рабочему квалификацию на один разряд за грубые нарушения технологической дисциплины и за другие серьезные нарушения, повлекшие ухудшение качества изготавливаемой ими продукции или выполняемых работ.

Однако, если ранее присвоен был на другом месте более высокий разряд - фактически он сохранится при смене работы, но сотрудник может пойти на работу на ставку по более низкому разряду.