Вопрос о возможности старшины подразделения поставить военнослужащего в наряд без согласования с начальником штаба

Тут надо смотреть приказ о вашем прикомандировании(какие сроки, на какие должности, обязанности ). Если вы числитесь по штату в одном подразделении, но проходите службу в другом, то командование другого подразделения по отношению к вам так же является прямым и непосредственным начальством в соотв. с этим приказом(причем в армии это сплошь и рядом - числится техником, а работает на складе каптером).

Поэтому внеочередной наряд - законен.