Возможно ли получить досрочную пенсию по старости до 55 лет при общем трудовом стаже 34 года и 1 годе безработицы?

Назначить могут.

Но обязанности назначить вам пенсию у Центра занятости нет.

2. По предложению органов службы занятости при отсутствии возможности для трудоустройства безработным гражданам из числа лиц, указанных в пункте 1 настоящей статьи, уволенным в связи с ликвидацией организации либо прекращением деятельности индивидуальным предпринимателем, сокращением численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя, с их согласия может назначаться пенсия на период до наступления возраста, дающего право на трудовую пенсию по старости, в том числе досрочно назначаемую трудовую пенсию по старости, но не ранее чем за два года до наступления соответствующего возраста. Размер этой пенсии определяется по нормам страховой части трудовой пенсии по старости, установленным Федеральным законом "О трудовых пенсиях в Российской Федерации". При этом пункты 21 - 25 статьи 14 указанного Федерального закона не применяются.

По достижении возраста, дающего право на установление трудовой пенсии по старости, в том числе досрочно назначаемой трудовой пенсии по старости, получатель пенсии, назначенной в соответствии с настоящим пунктом, вправе осуществить переход на трудовую пенсию по старости (часть трудовой пенсии по старости) в соответствии с пунктом 7 статьи 19 указанного Федерального закона.

(ст. 32, Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 30.11.2011) "О занятости населения в Российской Федерации")