Необходимость аннулирования первого завещания для вступления в силу второго

аннулировать не нужно, последующее завещание отменяет первоначальные.

Если во втором написано: "ВСЕ мое имущество я завещаю...." то будет действовать второе.

Если во втором написано: " Из имущества я завещаю...." , то будут действовать оба.

Статья 1130 ГК РФ. Отмена и изменение завещания 1. Завещатель вправе отменить или изменить составленное им завещание в любое время после его совершения, не указывая при этом причины его отмены или изменения. Для отмены или изменения завещания не требуется чье-либо согласие, в том числе лиц, назначенных наследниками в отменяемом или изменяемом завещании. 2. Завещатель вправе посредством нового завещания отменить прежнее завещание в целом либо изменить его посредством отмены или изменения отдельных содержащихся в нем завещательных распоряжений. Последующее завещание, не содержащее прямых указаний об отмене прежнего завещания или отдельных содержащихся в нем завещательных распоряжений, отменяет это прежнее завещание полностью или в части, в которой оно противоречит последующему завещанию. Завещание, отмененное полностью или частично последующим завещанием, не восстанавливается, если последующее завещание отменено завещателем полностью или в соответствующей части. 3. В случае недействительности последующего завещания наследование осуществляется в соответствии с прежним завещанием. 4. Завещание может быть отменено также посредством распоряжения о его отмене. Распоряжение об отмене завещания должно быть совершено в форме, установленной настоящим Кодексом для совершения завещания. К распоряжению об отмене завещания соответственно применяются правила "пункта 3" настоящей статьи. 5. Завещанием, совершенным в чрезвычайных обстоятельствах "(статья 1129)," может быть отменено или изменено только такое же завещание. 6. Завещательным распоряжением в банке "(статья 1128)" может быть отменено или изменено только завещательное распоряжение правами на денежные средства в соответствующем банке.