После подписания договора соцнайма, я должен отдать свой экземпляр в ЖЭУ, для заведения поквартирной карточки?

не обязаны. сейчас карточек то нет

Решением Верховного Суда РФ от 9 февраля 2018 г. N АКПИ17-1007 был признан недействующим п. 84 Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденного приказом ФМС России от 11 сентября 2012 г. N 288, в той мере, в какой хранение карточек регистрации и поквартирных карточек, оформляемых при регистрации граждан Российской Федерации в жилые помещения, у лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, установленного данным регламентом.

В соответствии с Административным регламентом МВД РФ по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденным приказом МВД России от 31 декабря 2017 г. N 984, с 17 апреля 2018 г. отменены домовые (поквартирные) книги (форма 11), поквартирные карточки (форма 10), а также карточка регистрации (форма 9). Вместо форм 9, 10, 11 должны выдаваться свидетельства о регистрации по месту жительства или пребывания (формы 8 и 3)