Как нам разъехаться с сестрой из муниципальной квартиры с шестью детьми?

Запрета на это нет. Обменивайтесь. За Вас этого делать никто не будет и не обязан.

ЖК РФ Статья 72. Право на обмен жилыми помещениями, предоставленными по договорам социального найма

1. Наниматель жилого помещения по договору социального найма с согласия в письменной форме наймодателя и проживающих совместно с ним членов его семьи, в том числе временно отсутствующих членов его семьи, вправе осуществить обмен занимаемого ими жилого помещения на жилое помещение, предоставленное по договору социального найма другому нанимателю.

Статья 74. Оформление обмена жилыми помещениями между нанимателями данных помещений по договорам социального найма

1. Обмен жилыми помещениями между нанимателями данных помещений по договорам социального найма осуществляется с согласия соответствующих наймодателей на основании заключенного между указанными нанимателями договора об обмене жилыми помещениями.

2. Договор об обмене жилыми помещениями заключается в письменной форме путем составления одного документа, подписанного соответствующими нанимателями.

3. Договор об обмене жилыми помещениями (оригинал) представляется нанимателями, заключившими данный договор, каждому из наймодателей, с которыми у них заключены договоры социального найма обмениваемых жилых помещений, для получения согласия на осуществление соответствующего обмена. Такое согласие или отказ в даче такого согласия оформляется наймодателем в письменной форме и должны быть выданы им обратившемуся за согласием нанимателю или представителю нанимателя не позднее чем через десять рабочих дней со дня обращения.

4. Отказ наймодателя в даче согласия на обмен жилыми помещениями допускается только в случаях, предусмотренных статьей 73 настоящего Кодекса. Отказ наймодателя в даче согласия на обмен может быть обжалован в судебном порядке.

5. Договор об обмене жилыми помещениями и соответствующее согласие каждого наймодателя обмениваемого жилого помещения являются основанием расторжения ранее заключенных договоров социального найма с гражданами, обменивающимися жилыми помещениями в соответствии с указанным договором об обмене жилыми помещениями, и одновременного заключения каждым из давших согласие наймодателей нового договора социального найма жилого помещения с гражданином, который вселяется в данное жилое помещение в связи с обменом в соответствии с указанным договором об обмене жилыми помещениями. Расторжение и заключение указанных договоров социального найма осуществляются наймодателем не позднее чем через десять рабочих дней со дня обращения соответствующего гражданина и представления им указанных в настоящей части документов.