Второму сыну умершего или дочки того, кто прописан в завещании?

Второй сын уже подал заявление о принятии наследства по всем основаниям. Ему и достанется

Тогда сын второй и жена умершего наследуют.

Ребёнок нет

если дом и квартира в браке приобретены, то половина этого имущества только наследуется, поскольку вторая половина - доли супруги; если наследник квартиры по завещанию не захочет ее, то она отойдет другим наследникам

ГК РФ Статья 1161. Приращение наследственных долей

1. Если наследник не примет наследство, откажется от наследства, не указав при этом, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), не будет иметь права наследовать или будет отстранен от наследования по основаниям, установленным статьей 1117настоящего Кодекса, либо вследствие недействительности завещания, часть наследства, которая причиталась бы такому отпавшему наследнику, переходит к наследникам по закону, призванным к наследованию, пропорционально их наследственным долям.

Однако в случае, когда наследодатель завещал все имущество назначенным им наследникам, часть наследства, причитавшаяся наследнику, отказавшемуся от наследства или отпавшему по иным указанным основаниям, переходит к остальным наследникам по завещанию пропорционально их наследственным долям, если только завещанием не предусмотрено иное распределение этой части наследства.