Или мне придётся заново входить в программу, со всеми документами и рисками не получить его следующей весной?

Педагогические работники, состоящие на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях, имеют право на предоставление жилых помещений по договорам социального найма, право на предоставление жилых помещений специализированного жилищного фонда (ч. 3 ст. 49 ЖК РФ; пп. 6 ч. 5 ст. 47 Закона N 273-ФЗ; Определение Конституционного Суда РФ от 09.02.2017 N 215-О).

Таким образом, главным условием, является статус нуждающегося

Уточните в обоих местах...

не факт что служебное жильё за вами сохранят. Читайте договор. там всё чётко написано. при увольнении с работы. вы обязаны будете его сдать.

Каждая из сторон вправе во всякое время отказаться от договора безвозмездного пользования, заключенного без указания срока, известив об этом другую сторону за один месяц, если договором не предусмотрен иной срок извещения (ст.699 ГК РФ).

Поэтому при безвозмездном пользовании жильём без указания срока вас могут выселить в любое время с предупреждением за месяц, а если срок указан- не могут до окончания срока. Никакие программы при этом значения уже не имеют, договор уже заключен, срок действия указан.

Здравствуйте! Если вы перейдёте в другую школу, жильё сохранится только при условии, что новый руководитель оформит ходатайство, и администрация города согласится на передачу жилья. Без этого придётся заново участвовать в программе. Всего доброго Вам!