Если у этой пары родится ребенок, какими правами он будет обладать в отношении квартиры и прописки?

Уважаемая Ольга!

1. В соответствии со ст.674. Гражданского кодекса РФ договор найма жилого помещения заключается в письменной форме. Рукописно либо в печатном виде... это решать Вам.

2. Ребенок будет обладать в отношении квартиры теми же правами, что и его родители. В силу ст. 677 ГК РФ граждане, постоянно проживающие совместно с нанимателем, имеют равные с ним права по пользованию жилым помещением. Других прав на квартиру у него не будет.