Покупка салона красоты - проблемы с хозяином после задатка

Подавайте иск в суд о возврате денег.

Можем ли мы ,на основании его расписки, потребовать свои права на владение салоном

Нет.

Куда нам обратиться и сколько времени может занять разбирательство?

Суд.

Мы не знаем его адрес проживания.

указывает данные из текста расписки.

Обращайтесь в суд, взыскивайте как неосновательное обогащение. Договора купли-продажи не заключили, даже предварительного не заключили, в расписке не звучит, что он получил задаток, значит это аванс. Поскольку письменного обязательства по продаже салона он на себя не брал, о понуждении к сделке стоит забыть.

Для права требовать передачу Вам салона необходим подписанный договор купли-продажи, только чего? Каков предмет договора - что продаваться (передаваться) предполагалось - помещение, принадлежащее на праве собственности продавцу, юридическое лицо, где он является участником, право аренды? Если был дан именно задаток, а не аванс - то Вы вправе требовать от продавца в двойном размере сумму задатка, в случае невыполнения обязательств. Чтоб найти его - обратитесь в ФМС (можно через сайт Госуслуги), если Вы знаете его ФИО, дату рождения то Вам предоставят соответствующую информацию. Пишите заявление в полицию. Также, если есть знакомые в полиции - то они могут очень быстро узнать где он прописан/пребывает.