Сотрудник получил производственную травму, уволился и направил новый больничный

Обязаны.

2. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованным лицам при наступлении случаев, указанных в части 1 настоящей статьи, в период работы по трудовому договору, осуществления служебной или иной деятельности, в течение которого они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работы или деятельности либо в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.

ст. 5, Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 23.07.2013) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" {КонсультантПлюс}