Нужно ли мне менять украинские права на российские при получении гражданства РФ для управления автомобилем?

Судя по тексту - да.

Правила

сдачи квалификационных экзаменов и выдачи водительских удостоверений

(утв. постановлением Правительства РФ от 15 декабря 1999 г. N 1396)

"37. Международное водительское удостоверение выдается без сдачи экзаменов на срок 3 года, но не более срока действия национального водительского удостоверения.

40. Замена полученных гражданами Российской Федерации в других государствах международных или национальных водительских удостоверений этих государств производится после сдачи теоретического экзамена при представлении документов, указанных в пункте 16 настоящих Правил (кроме документа о прохождении обучения), заверенной в установленном порядке копии водительского удостоверения, а также документа об оплате изготовления и (или) выдачи водительского удостоверения.

48. Иностранное национальное водительское удостоверение лица, переехавшего на постоянное жительство в Российскую Федерацию, на территории Российской Федерации считается недействительным по истечении 60 дней с даты получения в органах внутренних дел Российской Федерации разрешения на постоянное проживание в Российской Федерации или с даты въезда на территорию Российской Федерации, если разрешение на постоянное проживание было получено в дипломатическом представительстве либо консульском учреждении Российской Федерации в иностранном государстве. Замена такого удостоверения осуществляется в порядке, предусмотренном пунктом 40 настоящих Правил".