Можно ли встать на учёт в службу занятости населения по месту жительства а не по месту прописки?

К сожалению - нет, только по месту ПОСТОЯННОЙ регистрации можете встать на учет в ЦЗ

Здравствуйте, Юрий

Закон РФ от 19 апреля 1991 г. N 1032-1 "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 3. Порядок и условия признания граждан безработными

п. 2. Решение о признании гражданина, зарегистрированного в целях поиска подходящей работы, безработным принимается органами службы занятости по месту жительства гражданина не позднее 11 дней со дня предъявления органам службы занятости паспорта, трудовой книжки или документов, их заменяющих, документов, удостоверяющих его квалификацию, справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы, а для впервые ищущих работу (ранее не работавших), не имеющих квалификации - паспорта и документа об образовании и (или) о квалификации.

Правила регистрации граждан в целях поиска подходящей работы

(утв. постановлением Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891)

п. 2. Регистрации в целях поиска подходящей работы подлежат граждане независимо от места их жительства в Российской Федерации, а также пребывания на территории Российской Федерации.

Ни один из нормативных актов не требует вставать на учет именно в том населенном пункте где есть регистрация по месту жительства (прописка). Попробуйте написать заявление в службу занятости и получить официальный ответ.