Как изменить фамилию ребенка, который родился вне брака от гражданского сожителя своей бывшей супруги?

Дело не в том, что жена бывшая оставила после расторжения брака фамилию, которую имела в браке.

Кроме того, что у ребенка Ваша фамилия, Вас больше должно беспокоить, что Вы записаны в качестве отца в записи акта о рождении ребёнка.

Это было неизбежно, исходя из следующей ст. Семейного кодекса РФ: "Статья 48. Установление происхождения ребенка

2. Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке."

А вот это самое иное доказать нужно следующим образом:

Статья 52. Оспаривание отцовства (материнства)

1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным."

Если же она родила ребенка позднее, чем 300 дней после расторжения брака, - то делать ничего не нужно. Вас в качестве отца не могли указать. Это фамилия бывшей жены, а не только Ваша, и менять фамилию не своему ребенку вы не вправе.