Как решить проблему с выездом из РФ для супруги гражданина Азербайджана, родившейся в России, и двух детей граждан РФ?

Обязательно в отношении ее будет применено выдворение (ст. 18.8 КоАП РФ) с последующим запретом на въезд. Последующий запрет на въезд будет наложен в ФМС отдельным решением. Это решение можно просить отменить в административном или судебном порядке.

Статья 18.8. Нарушение иностранным гражданином или лицом без гражданства правил въезда в Российскую Федерацию либо режима пребывания (проживания) в Российской Федерации

1. Нарушение иностранным гражданином или лицом без гражданства "правил" въезда в Российскую Федерацию либо "режима" пребывания (проживания) в Российской Федерации, выразившееся в нарушении установленных правил въезда в Российскую Федерацию, в нарушении "правил" миграционного учета, передвижения или "порядка" выбора места пребывания или жительства, транзитного проезда через территорию Российской Федерации, в неисполнении обязанностей по уведомлению о подтверждении своего проживания в Российской Федерации в случаях, установленных федеральным "законом", -

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации или без такового.

1.1. "Нарушение" иностранным гражданином или лицом без гражданства режима пребывания (проживания) в Российской Федерации, выразившееся в отсутствии документов, подтверждающих право на пребывание (проживание) в Российской Федерации, или в случае утраты таких документов в неподаче заявления об их утрате в соответствующий орган либо в уклонении от выезда из Российской Федерации по истечении определенного срока пребывания, если эти действия не содержат признаков уголовно наказуемого деяния, -

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.

2. Нарушение иностранным гражданином или лицом без гражданства правил въезда в Российскую Федерацию либо режима пребывания (проживания) в Российской Федерации, выразившееся в несоответствии заявленной "цели" въезда в Российскую Федерацию фактически осуществляемой в период пребывания (проживания) в Российской Федерации деятельности или роду занятий, -

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации или без такового.

3. Нарушения, предусмотренные "частями 1", "1.1" и "2" настоящей статьи, совершенные в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге либо в Московской или Ленинградской области, -

влекут наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до семи тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.

4. Повторное в течение одного года совершение иностранным гражданином или лицом без гражданства административного правонарушения, предусмотренного "частями 1" и "2" настоящей статьи, -

влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до семи тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.

Примечание. Административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства в форме контролируемого самостоятельного выезда из Российской Федерации не применяется к иностранным гражданам и лицам без гражданства, привлекаемым к административной ответственности за административное правонарушение, предусмотренное "частью 4" настоящей статьи.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ

"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Статья 27. Въезд в Российскую Федерацию иностранному гражданину или лицу без гражданства не разрешается в случае, если:

...

2) в отношении иностранного гражданина или лица без гражданства вынесено решение об административном выдворении за пределы Российской Федерации, о депортации либо передаче Российской Федерацией иностранному государству в соответствии с международным договором Российской Федерации о реадмиссии, - в течение пяти лет со дня административного выдворения за пределы Российской Федерации, депортации либо передачи Российской Федерацией иностранному государству в соответствии с международным договором Российской Федерации о реадмиссии;

...

Акиф, здравствуйте,

Тем, кто нарушает сроки пребывания, помимо штрафа могут закрыть въезд в страну сроком на три, пять или десять лет.

Таковы правила, Вы здесь уже ничего не сделаете, потому как закон Вашей женой уже нарушен.

Удачи Вам!