Имеет ли она право остаться проживать в данной квартире и не выписываться.

Да Ваша мама может остатся проживать в данной квартире и не выписываться как член семьи собственника но до тех пор пока Вы являетесть собственником

Если вы продатите эту квартиру и не укажете в договоре что ваша мама остается проживать в данной квартире то новый собственник может выписать вашу маму из квартиры ибо согласно статье 31 Жилищного кодекса РФ В случае прекращения семейных отношений с собственником

жилого помещения право пользования данным жилым помещением за

бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не

сохраняется, если иное не установлено соглашением между

собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена

семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания

приобретения или осуществления права пользования иным жилым

помещением, а также если имущественное положение бывшего члена

семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие

внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным

жилым помещением, право пользования жилым помещением,

принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за

бывшим членом его семьи на определенный срок на основании

решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого

помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и

других членов его семьи, в пользу которых собственник

исполняет алиментные обязательства, по их требованию.

5. По истечении срока пользования жилым помещением,

установленного решением суда, принятым с учетом положений

части 4 настоящей статьи, соответствующее право пользования

жилым помещением бывшего члена семьи собственника

прекращается, если иное не установлено соглашением между

собственником и данным бывшим членом его семьи. До истечения

указанного срока право пользования жилым помещением бывшего

члена семьи собственника прекращается одновременно с

прекращением права собственности на данное жилое помещение

этого собственника или, если отпали обстоятельства,

послужившие основанием для сохранения такого права, на

основании решения суда.

Что касается возможности оспорить дарение то это маловероятно поскольку для оспорения дарения необходимо либо признать сделку недействительной по основаниям предусмотренным гражданским кодексом РФ либо если вы совершили покушение на жизнь и здоровье своей матери что то же маловероятно.