Что делать, если не вступил в наследство, но хочешь получить компенсацию за квартиру?

ну если докажете, что фактически приняли наследство, то можно через суд проблему решить

Вступление в наследство возможно в течение шести месяцев со дня смерти наследодателя (СТ 1154 ГК РФ).

В соответствии с п. 2 ст. 1153 Гражданского кодекса Российской Федерации (далее — ГК РФ), признается: пока не доказано иное, наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства. В частности, если наследник вступил во владение или управление наследственным имуществом; принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц; произвел за свой счет расходы по содержанию наследственного имущества; оплатил за свой счет долги наследодателя; получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства и т. д.

Заявление об установлении факта принятия наследства и места открытия наследства (п. 9 части второй ст. 264 ГПК) может быть рассмотрено судом в порядке особого производства, если орган, совершающий нотариальные действия, сам не может выдать заявителю свидетельст-во о праве на наследство по мотиву отсутствия или недостаточности соответствующих документов, необходимых для подтверждения в нотариальном порядке факта вступления во владение наследственным имуществом.

Итог : доказывайте фактическое вступление в наследство и восстанавливайте сроки. Заявление в суд подается в особом порядке гл. 27 ГПК РФ