Директор частной школы не продлила договор с родителями ребенка - каковы ее правомочности?

Отказ неправомерен. Нет разницы частная или муниципальная школа. КС РФ на эту тему уже высказывался.

Вы можете оспорить действия в суде. Либо обратиься в прокуратуру с жалобой.

См.

Определение Конституционного Суда РФ от 25.01.2007 N 80-О-О

"Об отказе в принятии к рассмотрению жалобы частного образовательного учреждения "Школа Евстафьева среднего (полного) общего образования" на нарушение конституционных прав и свобод положением пункта 21 статьи 16 Федерального закона от 22 августа 2004 года N 122-ФЗ "О внесении изменений в законодательные акты Российской Федерации и признании утратившими силу некоторых законодательных актов Российской Федерации в связи с принятием Федеральных законов "О внесении изменений и дополнений в Федеральный закон "Об общих принципах организации законодательных (представительных) и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации" и "Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации"

Согласно пункту 1 статьи 1 Федерального закона от 17.01.1992 N 2202-1 "О прокуратуре Российской Федерации" (далее - Закон о прокуратуре) Прокуратура Российской Федерации - единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации надзор за соблюдением Конституции Российской Федерации и исполнением законов, действующих на территории Российской Федерации.

Проверки исполнения законов проводятся на основании поступившей в органы прокуратуры информации о фактах нарушения законов, требующих принятия мер прокурором.

В силу пунктов 1, 2 статьи 22 Закона о прокуратуре прокурор при осуществлении возложенных на него функций вправе проверять исполнение законов в связи с поступившей в органы прокуратуры информацией о фактах нарушения закона, требовать от руководителей и других должностных лиц органов, указанных в статье 21 указанного Закона, выделения специалистов для выяснения возникших вопросов; проведения проверок по поступившим в органы прокуратуры материалам и обращениям, ревизий деятельности подконтрольных или подведомственных им организаций.

Прокурор или его заместитель по основаниям, установленным законом, возбуждает производство об административном правонарушении, требует привлечения лиц, нарушивших закон, к иной установленной законом ответственности, предостерегает о недопустимости нарушения закона.