Как правильно встать на учет после переезда и начала семейного гостиничного бизнеса в другом регионе?

Никакой прописки не требуется - ФНС Вас обманывает.

ФМС, Росреестр сами уведомят о изменении Вашего места жительства согласно ст. 85 НК РФ.

Органы, осуществляющие регистрацию (учет) физических лиц по месту жительства (месту пребывания), регистрацию актов гражданского состояния физических лиц, обязаны сообщать соответственно о фактах регистрации физического лица по месту жительства, постановки на учет (снятия с учета) по месту пребывания иностранного работника, о фактах рождения и смерти физических лиц в налоговые органы по месту своего нахождения в течение 10 дней после дня регистрации (постановки на учет, снятия с учета) указанных лиц или дня регистрации актов гражданского состояния физических лиц.

Органы, осуществляющие кадастровый учет, ведение государственного кадастра недвижимости и государственную регистрацию прав на недвижимое имущество и сделок с ним, органы, осуществляющие регистрацию транспортных средств, обязаны сообщать сведения о расположенном на подведомственной им территории недвижимом имуществе, о транспортных средствах, зарегистрированных в этих органах (правах и сделках, зарегистрированных в этих органах), и об их владельцах в налоговые органы по месту своего нахождения в течение 10 дней со дня соответствующей регистрации, а также ежегодно до 1 марта представлять указанные сведения по состоянию на 1 января текущего года.

ИП на учёт принимается по месту своего жительства - обращайтесь в УФМС по Краснодарскому краю для регистрации по месту жительства и потом в инспекцию УФНС по Краснодарскому краю обращайтесь для постановки на учёт.