Скажите пожалуйста, могу ли я взять кредит на рефинансирование в другом банке, если есть просрочка по кредиту?

Да, можете, если у банка имеется такая программа.

В вашем случае, либо напишите заявление о реструктуризации кредита, если банки отказывают в реструктуризации и у вас есть просрочки, ждите когда банки обратятся в суд. В суде согласно ст. 333 ГК РФ вы вправе заявить ходатайство о снижении неустойки, тем самым снизив задолженность перед кредитором. Суды как правило идут навстречу заемщикам.