Как добиться возврата денег за телефон с заводским браком, если гарантию не предоставляли и магазин не хочет расписывать претензию? Какое право на моей стороне?

Отправьте претензию телеграммой и возьмите заверенную ее копию. После чего обращайтесь в суд за защитой своих прав.

В соответствии с п. 6 ст. 18 ЗоЗПП:

6. Продавец (изготовитель), уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер отвечает за недостатки товара, на который не установлен гарантийный срок, если потребитель докажет, что они возникли до передачи товара потребителю или по причинам, возникшим до этого момента.

Согласно абз. 2 п.1 ст. 19 ЗоЗПП:

В отношении товаров, на которые гарантийные сроки или сроки годности не установлены, потребитель вправе предъявить указанные требования, если недостатки товаров обнаружены в разумный срок, но в пределах двух лет со дня передачи их потребителю, если более длительные сроки не установлены законом или договором.

Таким образом поскольку гарантия на товар не предоставлена, у вас есть право предъявлять претензии продавцу в течение 2-х лет с момента передачи вам телефона, однако бремя доказывания причины неисправности (заводского брака) в данной ситуации к сожалению лежит на Вас. Исходя из этого Вам необходимо обратиться в независимую экспертную организацию и повести экспертизу. Если будет установлено что это заводской брак, далее по почте заказным письмом с уведомлением о вручении и описью вложения отправить претензию продавцу, и в случае отказа от добровольного удовлетворения претензии, нужно будет предъявлять исковое заявление в суд.