Необходимо ли регистрироваться в ФМС при наличии ВНЖ и проживании в Болгарии после введения закона о втором гражданстве?

ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ НУЖНО. Нужно делать тем, кто проживает в РФ.

В случае если гражданин Российской Федерации считает себя постоянно проживающим за пределами Российской Федерации и имеет в соответствии с законодательством иностранного государства документ, подтверждающий право на постоянное проживание, такой гражданин освобождается от обязанности по подаче уведомления.

www.fmsmoscow.ru

В соответствии с ФЗ "О гражданстве РФ". обращайтесь в консульство Болгарии, Вы должны уведомить.

Ст. 6 ФЗ "О гражданстве Российской Федерации" указывает: "Если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации или федеральным законом, гражданин Российской Федерации (ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ граждан Российской Федерации, постоянно проживающих за пределами Российской Федерации - ЭТО ВЫ), имеющий также иное гражданство либо вид на жительство или иной действительный документ, подтверждающий право на его постоянное проживание в иностранном государстве (далее также - документ на право постоянного проживания в иностранном государстве), обязан подать письменное уведомление о наличии иного гражданства или документа на право постоянного проживания в иностранном государстве в территориальный орган федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на осуществление функций по контролю и надзору в сфере миграции, по месту жительства данного гражданина в пределах Российской Федерации (в случае отсутствия такового - по месту его пребывания в пределах Российской Федерации, а в случае отсутствия у него места жительства и места пребывания в пределах Российской Федерации - по месту его фактического нахождения в Российской Федерации) в течение шестидесяти дней со дня приобретения данным гражданином иного гражданства или получения им документа на право постоянного проживания в иностранном государстве."

Т. е. Вы не уведомляете ФМС.