Попали с мужем в ДТП. Хотела бы узнать сколько по времени эксперт должен сделать экспертизу и обязательно ли подавать в суд?

Если выплачивают добровольно, то обращение в суд не обязательно.

Статья 11.1. Оформление документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции

3. В случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции владельцы транспортных средств, причастных к дорожно-транспортному происшествию, по требованию страховщиков, указанных в пункте 2 настоящей статьи, обязаны представить указанные транспортные средства для проведения осмотра и (или) независимой технической экспертизы в течение пяти рабочих дней со дня получения такого требования.

Для обеспечения возможности осмотра и (или) независимой технической экспертизы транспортных средств, участвовавших в дорожно-транспортном происшествии, в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции владельцы указанных транспортных средств без наличия согласия в письменной форме страховщиков, указанных в пункте 2 настоящей статьи, не должны приступать к их ремонту или утилизации до истечения 15 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня дорожно-транспортного происшествия.