Возможно изменение записи в трудовой книжке, или доказательством может послужить штатное расписание детского сада тех лет?

Вы пишете: "Или только суд?". Ответ: суд и только суд. Не ходите и не портите себе нервы в ПФ. Если должность не соответствует Спискам, то работники ПФ никогда не примут самостоятельное решение о зачете в стаж, нет у них такого права. Кстати, музыкальный педагог тоже не соответствует. Есть только "музыкальный руководитель".

Там и по учебе поспорите. По этому вопросу следующее:

Постановление Правительства РФ от 11 июля 2002 г. N 516

"Об утверждении Правил исчисления периодов работы, дающей право на досрочное назначение трудовой пенсии по старости в соответствии со статьями 27 и 28 Федерального закона "О трудовых пенсиях в Российской Федерации"

11. Период начального профессионального обучения или переобучения (без отрыва от работы) на рабочих местах в соответствии с ученическим договором включается в периоды работы, дающей право на досрочное назначение трудовой пенсии по старости, в тех случаях, когда в статьях 27 и 28 Федерального закона или в списках указаны производства или отдельные виды работ без перечисления профессий и должностей работников либо предусмотрены работники, выполняющие определенную работу без указания наименований профессий или должностей.

Но насколько я понимаю, учеба была с отрывом, т.е. с выездами на сессию.