Может ли руководитель, директор фирмы отменить так называемый "мамин день"? Если может, что является основанием.

Не совсем понятно, что вы имеете в виду под словами "мамин день". Раньше по Советскому КЗоТу, была заложена обязанность предоставлять дни в обязательном порядке, работникам имеющим детей до 14 лет.

В настояшщее время Трудовым законодательством предусмотрено следующее:

Статья 263. Дополнительные отпуска без сохранения заработной платы лицам, осуществляющим уход за детьми

Работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до четырнадцати лет, отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до четырнадцати лет без матери, коллективным договором могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы в удобное для них время продолжительностью до 14 календарных дней. Указанный отпуск по письменному заявлению работника может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован отдельно полностью либо по частям. Перенесение этого отпуска на следующий рабочий год не допускается.

Таким образом, дни без сохранения заработной платы могут предоставляться работодателем только в том случае если это предусмотрено каким-нибдь локальным нормативным актом, принятом у работодателя.