Должен ли я отдавать паспорт РФ в руки полиции при проверке или могу просто показать им в развернутом виде.

ЗАКОН О МИЛИЦИИ

Статья 11. Права милиции

Милиции для выполнения возложенных на нее обязанностей предоставляется право:

2) проверять документы, удостоверяющие личность, у граждан, если имеются достаточные основания подозревать их в совершении преступления или полагать, что они находятся в розыске, либо имеется повод к возбуждению в отношении их дела об административном правонарушении;

4) получать от граждан и должностных лиц необходимые объяснения, сведения, справки, документы и копии с них;

В руки - не обязан. Более того, носить его с собой вы тоже не обязаны.