Можно ли расписаться в Казахстане с гражданином Австрии, приехавшим по туристической визе, и как он сможет остаться в стране после заключения брака?

Повезло так повезло. Можете регистрировать брак в Казахстане Документы:

гражданин Республики Казахстан, постоянно проживающий в Республике Казахстан или временно пребывающий за границей, - удостоверение личности либо паспорт;

гражданин Республики Казахстан, постоянно проживающий за границей, - паспорт гражданина Республики Казахстан с отметкой консульского учреждения за рубежом о постановке его на учет как постоянно проживающего за границей гражданина Республики Казахстан;

иностранец, постоянно проживающий в Республике Казахстан, - вид на жительство иностранца в Республике Казахстан.

иностранец, временно пребывающий в Республике Казахстан - документ, выданный органом внутренних дел Республики Казахстан, разрешающий временное проживание в Республике Казахстан;

лицо без гражданства, постоянно проживающее в Республике Казахстан, - удостоверение лица без гражданства с отметкой органов внутренних дел Республики Казахстан о регистрации по месту жительства;

Лицо без гражданства, временно пребывающее в Республике Казахстан, - документ, удостоверяющий его личность, выданный компетентными органами страны его проживания и зарегистрированный в установленном порядке в органах внутренних дел Республики Казахстан.