Что произойдет с правом наследования доли в доме, когда за нее предлагается однокомнатная квартира? Как сохранить это право при состоянии в браке?

Все зависит от того, как администрация предоставит Вам эту квартиру. Оформите перед этим брачный договор.

Просто в собственность на себя оформите. Квартира получена Вами в счёт компенсации за жильё, полученное по наследству. Получена безвозмездно. Такое имущество не является совместно нажитым, делиться не будет (ст. 36 Семейного кодекса РФ). Брачный договор составить можно, но не обязательно