Если я не работаю, могу ли я сделать (продлить) патент? И как?

Здравствуйте. Можете и без трудового договора.

Статья 13.3. Особенности трудовой деятельности иностранных граждан у физических лиц

....

2. Для получения патента законно находящийся на территории Российской Федерации иностранный гражданин, прибывший в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, представляет в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции:

1) заявление о выдаче патента;

2) документ, удостоверяющий личность данного иностранного гражданина и признаваемый Российской Федерацией в этом качестве;

3) миграционную карту с указанием работы как цели визита в Российскую Федерацию и с отметкой органа пограничного контроля о въезде данного иностранного гражданина в Российскую Федерацию или с отметкой территориального органа федерального органа исполнительной власти в сфере миграции о выдаче данному иностранному гражданину указанной миграционной карты. В случае непредставления указанного в настоящем подпункте документа территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции проверяет на основании имеющихся в таком органе сведений данные об иностранном гражданине, содержащиеся в миграционной карте;

4) документы, подтверждающие уплату налога на доходы физических лиц в виде фиксированного авансового платежа в порядке, установленном законодательством Российской Федерации о налогах и сборах (далее - документ об уплате налога), за предыдущий период осуществления трудовой деятельности у физических лиц на основании патента;

5) сведения о видах трудовой деятельности у физических лиц, осуществлявшейся таким иностранным гражданином, представляемые по форме, утверждаемой федеральным органом исполнительной власти в сфере миграции.