Какое-то время после объявления его в розыск ребенок был под присмотром (моим и матери моего сожителя).

Лишить родительских прав возможно не получится. Согласно Семейному кодексу родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из других аналогичных учреждений;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

Но, бабушка вполне может подать иск об ограничении родительских прав.

В соответствии с СК РФ данный иск может быть предъявлен близкими родственниками ребенка, органами и учреждениями, на которые законом возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей, дошкольными образовательными учреждениями, общеобразовательными учреждениями и другими учреждениями, а также прокурором.

Суд может с учетом интересов ребенка принять решение об отобрании ребенка у родителя без лишения его родительских прав (ограничении родительских прав).

С уважением.