Могу ли я в таком случае подать в суд на переводческое агентство?

Здравствуйте Людмила!

Безусловно обратится в суд Вы имеете права (по месту нахождения отвечика).

Гражданский Кодекс РФ допускает заключние устных сделок - соотвтсвенно Государство в котором Законом предусмотрено заключение устных сделок должно обеспечивать защиту добросовестной стороны сделки, в т.ч и судебную. Так, согласно ст. 159 ГК РФ Сделка, для которой законом или соглашением сторон не установлена письменная (простая или нотариальная) форма, может быть совершена устно.

Как я понял из текста вопроса - сделка которую Вы совершили может быть заключена в устной форме, но с ограничением установленной ст.161 ГК РФ

Статья 161. Сделки, совершаемые в простой письменной форме

1. Должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения:

1) сделки юридических лиц между собой и с гражданами;

2) сделки граждан между собой на сумму, превышающую не менее чем в десять раз установленный законом минимальный размер оплаты труда, а в случаях, предусмотренных законом, - независимо от суммы сделки.

Но и это, не лишает Вас права обратиться в суд за защитой своих прав.

Статья 162. Последствия несоблюдения простой письменной формы сделки

1. Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.

Как видно из Вашего вопроса осталась переписка - данная переписка является письменным доказательством подтверждения заключения сделки.

В суд необходимо будет предстаить следующие доказаельства:

1. факт заключения сделки;

2. основное условие (выполнение перевода за определенную плату);

3. факт исполнения Вами сделки;

4. факт не исполнения другой сторноной сделки. (Другая сторона должна доказать обратное).