Может ли государственное учреждение выступать учредителем и членом совместных предприятий.

Да, может. В качестве примера.

"Постановление Президиума Высшего Арбитражного Суда РФ от 2 февраля 1999 г. N 4841/98 В соответствии с п. 2 ст. 295 ГК РФ предприятие, основанное на праве хозяйственного ведения, вправе самостоятельно распоряжаться принадлежащим ему имуществом, не являющимся недвижимым, в том числе вносить его в качестве вклада в уставный (складочный) капитал хозяйственных обществ и товариществ, кроме случаев, установленных законом или иными правовыми актами".