Как доказать различие в написании моей фамилии на украинских и русских документах и получить материнский капитал?

Вам ответили верно, обращайтесь в суд.

Статья 254. Подача заявления об оспаривании решения, действия (бездействия) органа государственной власти, органа местного самоуправления, должностного лица, государственного или муниципального служащего

1. Гражданин, организация вправе оспорить в суде решение, действие (бездействие) органа государственной власти, органа местного самоуправления, должностного лица, государственного или муниципального служащего, если считают, что нарушены их права и свободы. Гражданин, организация вправе обратиться непосредственно в суд или в вышестоящий в порядке подчиненности орган государственной власти, орган местного самоуправления, к должностному лицу, государственному или муниципальному служащему.

2. Заявление подается в суд по подсудности, установленной статьями 24 - 27 настоящего Кодекса. Заявление может быть подано гражданином в суд по месту его жительства или по месту нахождения органа государственной власти, органа местного самоуправления, должностного лица, государственного или муниципального служащего, решение, действие (бездействие) которых оспариваются.

Отказ в разрешении на выезд из Российской Федерации в связи с тем, что заявитель осведомлен о сведениях, составляющих государственную тайну, оспаривается в соответствующем верховном суде республики, краевом, областном суде, суде города федерального значения, суде автономной области, суде автономного округа по месту принятия решения об оставлении просьбы о выезде без удовлетворения.

3. Заявление военнослужащего, оспаривающего решение, действие (бездействие) органа военного управления или командира (начальника) воинской части, подается в военный суд.

4. Суд вправе приостановить действие оспариваемого решения до вступления в законную силу решения суда.