Как защитить старшую сестру от угрозы выселения из общей квартиры и доказать ее долю в продаже мамины квартиры?

Да, конечно можно доказать. У Вас же есть договора купли-продажи

В Вашем случае трудно дать ответ, не разобравшись полностью в ситуации и не видя документов, которые касаются дела. Только после этого можно будет лишь приблизительно оценить шансы того или иного разрешения ситуации.

Александра, ваша сестра в указанной квартире зарегистрирована и собственником не является. Это означает, что у нее есть только право пользования и проживания, до тех пор пока это позволяет собственник. Вы можете сейчас обратится формально к участковому (написать заявление в ОМВД) о том, что ее не впускают в квартиру по месту регистрации, тем самым лишают ее единственного места проживания. Если сестра обратится в суд с исковым заявлением о признании ее утратившей или прекратившей право пользования и снятии с регистрационного учета, то в таком случае будет возможность заявить обоснованно встречные исковые требования о нечинении препятствий в пользовании и проживании.

Однако, собственник в праве по своему усмотрению распоряжаться своим имуществом, регистрировать и снимать с регистрационного учета. Тут не стоит путать с муниципальным жильем или приватизированным где одна из сестер отказалась от участия в приватизации, например.

В случае ее обращения в суд, максимум, что суд сделает это даст ей отсрочку в исполнении решения, то есть прекратит регистрацию но например, снять с регистрационного учета ее возможно будет через год. Предоставив тем самым, ей время для разрешения своего жилищного вопроса.

Александра, квартира приобретена по ипотеке, т.е. за денежные средства предоставленные банком на условиях займа, которые собственник возвращает банку.

Ипотека была закрыта денежными средствами полученными с продажи?

На каком основании суд. должен выделить вашей сестре долю в этой квартире. Она совместно с собственником выплачивает ипотеку и есть официальное подтверждение?

Александра, для того чтобы получить правильную развернутую консультацию по вашей проблеме, лучше всего обратится на прием лично к юристу который занимается спорами связанными с недвижимостью. Он вам задаст все необходимые вопросы, посмотрит документы и возможно ваша ситуация выглядит несколько иначе. А на данный момент исходя только из содержания текста вашего вопроса, особых перспектив я не вижу.