Кто из них - мировой судья или районный суд - должны предоставлять время для ознакомления с апелляцией истцу?

Мировой судья.

ГПК РФ.

"Статья 321. Срок подачи апелляционных жалобы, представления

Апелляционные жалоба, представление могут быть поданы в течение десяти дней со дня принятия мировым судьей решения в окончательной форме.

Статья 325. Действия мирового судьи после получения апелляционных жалобы, представления

1. Мировой судья после получения апелляционных жалобы, представления, поданных в установленный статьей 321 настоящего Кодекса срок и соответствующих требованиям статьи 322 настоящего Кодекса, обязан направить лицам, участвующим в деле, копии жалобы, представления и приложенных к ним документов.

2. Лица, участвующие в деле, вправе представить мировому судье возражения в письменной форме относительно апелляционных жалобы, представления с приложением документов, подтверждающих эти возражения, и их копий, число которых соответствует числу лиц, участвующих в деле, и вправе ознакомиться с материалами дела, с поступившими жалобой, представлением и возражениями относительно них.

3. По истечении срока обжалования мировой судья направляет дело с апелляционными жалобой, представлением и поступившими возражениями относительно них в районный суд. До истечения срока обжалования дело не может быть направлено в районный суд".