Способ взыскания задолженности за содержание общего имущества МКД - со всех прописанных граждан или только с собственника?

Только с собственника.

За квартиру должен платить её собственник, а ни кто в ней проживает.

Статья 158. Расходы собственников помещений в многоквартирном доме

1. Собственник помещения в многоквартирном доме обязан нести расходы на содержание принадлежащего ему помещения, а также участвовать в расходах на содержание общего имущества в многоквартирном доме соразмерно своей доле в праве общей собственности на это имущество путем внесения платы за содержание жилого помещения, взносов на капитальный ремонт. Уплата дополнительных взносов, предназначенных для финансирования расходов на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме, осуществляется собственниками помещений в многоквартирном доме в случае, предусмотренном частью 1.1 настоящей статьи.

(в ред. Федеральных законов от 25.12.2012 N 271-ФЗ, от 28.12.2013 N 417-ФЗ, от 29.06.2015 N 176-ФЗ)

1.1. В случае принятия собственниками помещений в многоквартирном доме, которые формируют фонд капитального ремонта на счете регионального оператора, решения о проведении капитального ремонта общего имущества в многоквартирном доме и при этом невозможности использования средств фонда капитального ремонта на финансирование услуг и (или) работ по капитальному ремонту, предусмотренных принятым решением собственников помещений в многоквартирном доме, в определенные принятым решением сроки собственники помещений в этом доме вправе принять на общем собрании собственников помещений в этом доме решение о дополнительном взносе для оплаты указанных услуг и (или) работ и порядке его уплаты. При этом уплата таких платежей не может начинаться ранее чем за три календарных месяца до конечного срока выполнения указанных услуг и (или) работ, предусмотренных договором. Использование средств, сформированных за счет дополнительных взносов, осуществляется в порядке, установленном решением общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме.

(часть 1.1 введена Федеральным законом от 28.12.2013 N 417-ФЗ)

2. Расходы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме финансируются за счет средств фонда капитального ремонта и иных не запрещенных законом источников.

(часть 2 в ред. Федерального закона от 25.12.2012 N 271-ФЗ)

3. Обязанность по оплате расходов на капитальный ремонт многоквартирного дома распространяется на всех собственников помещений в этом доме с момента возникновения права собственности на помещения в этом доме. При переходе права собственности на помещение в многоквартирном доме к новому собственнику переходит обязательство предыдущего собственника по оплате расходов на капитальный ремонт многоквартирного дома, в том числе не исполненная предыдущим собственником обязанность по уплате взносов на капитальный ремонт.

(в ред. Федерального закона от 25.12.2012 N 271-ФЗ)

4. Если собственники помещений в многоквартирном доме на их общем собрании не приняли решение об установлении размера платы за содержание жилого помещения, такой размер устанавливается органом местного самоуправления (в субъектах Российской Федерации - городах федерального значения Москве, Санкт-Петербурге и Севастополе - органом государственной власти соответствующего субъекта Российской Федерации, если законом соответствующего субъекта Российской Федерации не установлено, что данные полномочия осуществляются органами местного самоуправления внутригородских муниципальных образований)