Скажите пожалуйста, нужна ли в данном случае регистрация и имеют ли право участковые выносить решение о размере штрафа?

Если вы не иностранец то вас не вообще не имели право штрафовать

Конституция РФ:

Статья 27

1. Каждый, кто законно находится на территории Российской Федерации, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства.

Статья 37

1. Труд свободен. Каждый имеет право свободно распоряжаться своими способностями к труду, выбирать род деятельности и профессию.

Также к вам не относится и:

Статья 8. Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Основания ограничения права граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации

Право граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации в соответствии с законами Российской Федерации может быть ограничено:

в пограничной полосе;

в закрытых военных городках;

в закрытых административно-территориальных образованиях;

в зонах экологического бедствия;

на отдельных территориях и в населенных пунктах, где в случае опасности распространения инфекционных и массовых неинфекционных заболеваний и отравлений людей введены особые условия и режимы проживания населения и хозяйственной деятельности;

на территориях, где введено чрезвычайное или военное положение.