Неотчисленная студентка требует выплаты пособия за целый год - что должна предпринять администрация?

Судя по тексту вопроса, должны выплатить. Датой отсчета шестимесячного срока на самом деле является не дата рождения, а дата достижения ребенком возраста 1,5 лет.

Положение

о назначении и выплате государственных пособий гражданам, имеющим детей

(утв. постановлением Правительства РФ от 30 декабря 2006 г. N 865)

(с изменениями от 29 декабря 2007 г., 16 апреля 2008 г.)

"55. Пособие по беременности и родам, единовременное пособие женщинам, вставшим на учет в медицинских учреждениях в ранние сроки беременности, единовременное пособие при рождении ребенка, ежемесячное пособие по уходу за ребенком, а также единовременное пособие при передаче ребенка на воспитание в семью, единовременное пособие беременной жене военнослужащего, проходящего военную службу по призыву, и ежемесячное пособие на ребенка военнослужащего, проходящего военную службу по призыву, назначаются, если обращение за ними последовало не позднее 6 месяцев соответственно со дня окончания отпуска по беременности и родам, со дня рождения ребенка, со дня достижения ребенком возраста полутора лет, со дня вступления в законную силу решения суда об усыновлении (со дня вынесения органом опеки и попечительства решения об установлении опеки (попечительства), со дня заключения договора о передаче ребенка на воспитание в приемную семью), со дня окончания военнослужащим военной службы по призыву.

При этом ежемесячное пособие по уходу за ребенком и ежемесячное пособие на ребенка военнослужащего, проходящего военную службу по призыву, выплачиваются за весь период, в течение которого лицо, осуществляющее уход за ребенком, имело право на выплату пособия, в размере, предусмотренном законодательством Российской Федерации на соответствующий период".

Не очень понятно, почему вас обязывают выплачивать за счет внебюджетных средств - выплачивается за счет средств бюджета.

Положение

о назначении и выплате государственных пособий гражданам, имеющим детей

(утв. постановлением Правительства РФ от 30 декабря 2006 г. N 865)

(с изменениями от 29 декабря 2007 г., 16 апреля 2008 г.)

"53. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается:

в) лицам, указанным в подпункте "е" пункта 35 настоящего Положения (за исключением лиц из числа обучающихся по очной форме обучения в образовательных учреждениях начального профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования, в учреждениях послевузовского профессионального образования), а также лицам, указанным в подпункте "ж" пункта 35 настоящего Положения, - за счет средств федерального бюджета, выделяемых Фонду социального страхования Российской Федерации и передаваемых Фондом в установленном порядке органам социальной защиты населения субъектов Российской Федерации;

35. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком имеют:

е) матери, либо отцы, либо опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком и не подлежащие обязательному социальному страхованию (в том числе обучающиеся по очной форме обучения в образовательных учреждениях начального профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования, в учреждениях послевузовского профессионального образования и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком);"