Есть ли в законе указание о том, что регистрация и выплата пособия должна производиться только по месту прописки?

Увы.

Закон РФ от 19 апреля 1991 г. N 1032-1

"О занятости населения в Российской Федерации"

(с изменениями от 15 июля 1992 г., 24 декабря 1993 г., 27 января 1995 г., 20 апреля 1996 г., 21 июля 1998 г., 30 апреля, 17 июля, 20 ноября 1999 г., 7 августа 2000 г., 29 декабря 2001 г., 25 июля 2002 г., 10 января 2003 г., 22 августа 2004 г., 31 декабря 2005 г., 29 декабря 2006 г., 18 октября 2007 г., 23 июля, 25 декабря 2008 г., 3 июня, 24 июля 2009 г.)

"Статья 3. Порядок и условия признания граждан безработными

Федеральным законом от 23 июля 2008 г. N 160-ФЗ в пункт 1 статьи 3 настоящего Закона внесены изменения, вступающие в силу с 1 января 2009 г.

См. текст пункта в предыдущей редакции

1. Безработными признаются трудоспособные граждане, которые не имеют работы и заработка, зарегистрированы в органах службы занятости в целях поиска подходящей работы, ищут работу и готовы приступить к ней. При этом в качестве заработка не учитываются выплаты выходного пособия и сохраняемого среднего заработка гражданам, уволенным из организаций (с военной службы) независимо от их организационно-правовой формы и формы собственности (далее - организации) в связи с ликвидацией организации либо сокращением численности или штата работников организации.

Порядок регистрации безработных граждан определяется уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.

2. Решение о признании гражданина, зарегистрированного в целях поиска подходящей работы, безработным принимается органами службы занятости по месту жительства гражданина не позднее 11 дней со дня предъявления органам службы занятости паспорта, трудовой книжки или документов, их заменяющих, документов, удостоверяющих его профессиональную квалификацию, справки о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы, а для впервые ищущих работу (ранее не работавших), не имеющих профессии (специальности) - паспорта и документа об образовании".