Могут ли заставлять меня получать пластиковую карту для выплат за проживание в Чернобыльской зоне?

нет заставить в принудительном порядке открыть пластиковую карту Вас не могут, это нарушение положений Гражданского кодекса РФ, регулирующих раздел банковский счет (глава 45 части 2 Гражданского кодекса РФ). В вашем случае между Банком и вами заключен договор банковского счета, который может быть быть расторгнут банком исключительно если:

иное не предусмотрено договором, при отсутствии в течение двух лет денежных средств на счете клиента и операций по этому счету банк вправе отказаться от исполнения договора банковского счета, предупредив в письменной форме об этом клиента. Договор банковского счета считается расторгнутым по истечении двух месяцев со дня направления банком такого предупреждения, если на счет клиента в течение этого срока не поступили денежные средства.

(п. 1.1 введен Федеральным законом от 18.07.2005 N 89-ФЗ).

Статьей 843 Гражданского кодекса РФ предусмотрено, что Если соглашением сторон не предусмотрено иное, заключение договора банковского вклада с гражданином и внесение денежных средств на его счет по вкладу удостоверяются сберегательной книжкой.

В Вашем случае нужно обратиться к руководству Банка , либо подать жалобу на действия должностных лиц банка в управление центрального банка рф в вашем регионе.