Можно ли выгуливать собаку без поводка и намордника в лесу в Москве и МО? Какие существуют правовые документы?

Что касается Москвы. В области наверняка есть аналогичный нормативный акт, хотя муниципальные образования и сами занимаются законотворчеством на эту тему. Текст большой, но это Вам надо знать, найдете в инете и прочтите -

Кодекс города Москвы об административных правонарушениях

Глава 5. Административные правонарушения в области обращения с животными

В частности:

Нарушение установленных правовыми актами города Москвы правил выгула собак, в том числе появление с собакой без поводка и намордника в магазинах, учреждениях, на детских площадках, рынках, пляжах и в транспорте, а также выгул собак на территориях учреждений здравоохранения, детских садов, школ, иных образовательных учреждений и учреждений, работающих с несовершеннолетними, – влечет наложение административного штрафа на граждан или должностных лиц в размере от пятисот до одной тысячи рублей.

Появление с собакой без поводка на природных и озелененных территориях, а также на особо охраняемых природных территориях, если это деяние не содержит признаков административного правонарушения, предусмотренного статьей 4.2 настоящего Кодекса, – влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от пятисот до одной тысячи рублей; на должностных лиц – от одной тысячи до одной тысячи пятисот рублей.