Можно ли самостоятельно зарегистрироваться в ФМС при наличии купленной квартиры в РФ?

Нет. Принимающей стороной для иностранного гражданина может выступать лицо, упомянутое в ст.2 Федерального закона от 18.07.2006 N 109-ФЗ, где указано:

Статья 2. Основные понятия, используемые в настоящем Федеральном законе

... 7) сторона, принимающая иностранного гражданина или лицо без гражданства в Российской Федерации (далее - принимающая сторона), - гражданин Российской Федерации, постоянно проживающие в Российской Федерации иностранный гражданин или лицо без гражданства, юридическое лицо, филиал или представительство юридического лица, федеральный орган государственной власти, орган государственной власти субъекта Российской Федерации, орган местного самоуправления, дипломатическое представительство либо консульское учреждение иностранного государства в Российской Федерации, международная организация или ее представительство в Российской Федерации либо представительство иностранного государства при международной организации, находящейся в Российской Федерации, у которых иностранный гражданин или лицо без гражданства фактически проживает или осуществляет трудовую деятельность (находится). В качестве принимающей стороны в отношении членов своей семьи, определяемых в соответствии с "пунктом 9" настоящей части, могут выступать также иностранный гражданин или лицо без гражданства, относящиеся к высококвалифицированным специалистам в соответствии с "пунктом 8" настоящей части и имеющие в собственности жилое помещение на территории Российской Федерации...

Иностранец может вставать на учет в своей квартире и выступать принимающей стороной для других

Согласно пункту 5 статьи 7 Федерального закона от 18.07.2006 N 109-ФЗ "О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации" иностранные граждане, а также иностранные юридические лица и другие иностранные организации, находящиеся за пределами территории Российской Федерации и владеющие жилыми или иными помещениями, находящимися на территории Российской Федерации, в случае предоставления таких помещений для временного пребывания иностранным гражданам выполняют обязанности принимающей стороны по постановке лиц, которым предоставляются помещения, на учет по месту пребывания.