Возможно ли подать апелляционную жалобу за мягкость приговора после 10 дней?

Может, вместе с ходатайством о восстановлении срока.

УПК РФ.

"Статья 356. Сроки обжалования приговоров

1. Жалоба и представление на приговор или иное решение суда первой инстанции могут быть поданы сторонами в апелляционном или кассационном порядке в течение 10 суток со дня провозглашения приговора, а осужденным, содержащимся под стражей, - в тот же срок со дня вручения ему копии приговора.

2. В течение срока, установленного для обжалования судебного решения, уголовное дело не может быть истребовано из суда.

3. Жалоба или представление, поданные с пропуском срока, оставляются без рассмотрения.

Статья 357. Порядок восстановления срока обжалования

1. В случае пропуска срока обжалования по уважительной причине лица, имеющие право подать жалобу или представление, могут ходатайствовать перед судом, постановившим приговор или вынесшим иное обжалуемое решение, о восстановлении пропущенного срока. Ходатайство о восстановлении срока рассматривается в судебном заседании судьей, председательствовавшим в судебном разбирательстве уголовного дела.

2. Пропущенный срок восстанавливается в случае, если копии обжалуемого судебного решения лицам, указанным в частях четвертой и пятой статьи 354 настоящего Кодекса, были вручены по истечении 5 суток со дня его провозглашения.

3. Постановление судьи об отказе в восстановлении пропущенного срока может быть обжаловано в вышестоящий суд".